Consideriamo il circuito di fig.1a costituito da un generatore di tensione alternata  e da un resistore.

L'espressione della corrente è: I = Imax.senωt  ed ha l'andamento indicato in fig.1b; quella della tensione è per la legge di Ohm:

V = R.Imax.senωt ed ha l'andamento di fig.1c.

In queste espressioni Imax è pari a  I_eff.√2.

La tensione e la corrente sono in fase come si evince dall'espressione analitica e si osserva in fig.1.

Consideriamo il circuito di fig.2a costituito da un generatore di tensione alternata e da una bobina (induttanza).

L'espressione della corrente è:

I = I_eff√2 senωt ed ha l'andamento indicato in fig.2b.

L'espressione della tensione è:

V = LdI/dt = L I_eff√2 ω cosωt.

Sapendo che cosωt = sen(ωt+π/2) l'espressione della tensione diventa:

V = L.I_eff√2 ω sen(ωt+π/2).

Ponendo V_eff = L I_eff ω l'espressione di V diventa:

V = V_eff √2 sen(ωt+π/2).

Confrontando l'espressione di V ottenuta con quella di I ci accorgiamo che la tensione è in anticipo rispetto alla corrente come si osserva anche nella fig.2c

Facendo il rapporto fra   

V_max =  L.I_eff√2. ω  e  I_max = I_eff√2 

ottengo la reattanza induttiva che risulta pari a :

X_l = ω L ;

 facendo uso della notazione simbolica di ha : 

X_l = Jω L ; 

sempre in notazione simbolica la relazione fra reattanza induttiva tensione e corrente risulta:

V = Jω LI = X_lI (vedi fig.2)

Consideriamo ora il circuito di fig.3a costituito da un generatore di tensione alternata e da un condensatore (capacità).

L'espressione della tensione è:

V = V_eff√2 senωt ed ha l'andamento indicato in fig.3b.

L'espressione della corrente è:

I = dq/dt; poichè q = CV ; I diventa uguale a:

I = CdV/dt = C.V_eff√2 ω cosωt.

ponendo cosωt = sen(ωt+π/2)  e C ω V_eff = I_eff si ottiene:

I = I_eff√2 sen(ωt+π/2).

Confrontando l'espressione di I ottenuta con l'espressione di V ci accorgiamo che la tensione è in ritardo di π/2 rispetto alla corrente come si osserva anche nella fig.3c.

Facendo il rapporto fra   V_max = V_eff√2. e  I_max = C.ω.V_eff√2 , ottengo la reattanza capacitiva che risulta pari a :    X_c = 1/ω C ;       facendo uso della notazione simbolica si ha:   X_c = 1/Jω C ; sempre in notazione simbolica la relazione fra reattanza capacitiva tensione e corrente risulta:

V= I/Jω C = -JX_cI  (vedi fig.3)

Consideriamo ora (fig.4)  un circuito costituito da un resistore, una bobina (induttanza) ed da un condensatore (capacità)  alimentati in SERIE da un generatore di tensione alternata.

Risulta:

V = √((V_L-V_C)²+V_R²); Poichè da quanto precede risulta che

 V_L= I ω L e che

V_C = I/ωC con semplici passaggi otteniamo:

V = I√((Lω-1/ωC)² + R²).

L'espressione :

(√(Lω-1/ωC)² + R²)  rappresenta l'impedenza Z  del circuito.

φ  è l'angolo di fase (sfasamento fra tensione e corrente).

In notazione simbolica possiamo scrivere:

V = I (J(Lω-1/ωC) + R);

V/I = Z =  R +J(ωL-1/ωC)

l'espressione  ωL-1/ωC = X   prende il nome di reattanza ed esattamente 

 ωL = X_Lè la  reattanza induttiva e 1/ωC = X_C è quella capacitiva.

X può essere positiva o negativa a seconda che prevalga l'induttanza o la capacità.

l'espressione di  Z diventa : Z =  R + JX e lo sfasamento φ diventa:

φ = arctgX/R.

 L'inverso dell'impedenza Y = 1/Z prende il nome di ammettenza in SIEMENS

 possiamo scrivere:

Y = 1/Z = 1/(R +J(ωL-1/ωC)) = 1/(R + JX) = (R-JX)/(R+JX)(R-JX)=

=(R-JX)/(R²+X²) =R/(R²+X²) -JX/(R²+X²) .

se poniamo :

•  R/(R²+X² ) = G        che prende il nome di conduttanza in SIEMENS
•  -X/(R²+X²) = B          che prende il nome di suscettanza in SIEMENS

 otteniamo : Y = G + JB

l'angolo di fase dell'ammettenza è uguale a    -φ infatti esso è uguale a :

arctg B/G  = -X/R  questa espressione ci dice che l'angolo di fase dell'ammettenza è opposto a quello dell'impedenza cioè l'ammettenza capacitiva provoca uno sfasamento in anticipo della tensione rispetto alla corrente (φ  positico) mentre l'ammettenza induttiva provoca uno sfasamento in ritardo  della tensione rispetto alla corrente (φ  negativo).

Dato il circuito RLC serie di fig.5a , conoscendo  :

v = 220V, R = 50Ω, L = 150mH, C = 90μF, calcolare la tensione ai capi di R, L, C  l'angolo di fase φ e disegnare il diagramma vettoriale.

Z = √(R²+(ωL-1/ωC)²) = 51,36 Ω

ωL=  47,12Ω

1/ωC= 35,37Ω

X=ωL-1/ωC= 11,75 Ω

in notazione simbolica si ha:

Z =  R +JX = 50 + J11,75 

φ = arctgX/R = 13°13'

la corrente che circola nel circuito è : 

I = V/Z = 220/51,36 = 4,28A

la caduta su R è : 4,28 x 50 = 240V

la caduta su L è : 4,28 x 47,12 = 201,67V

la caduta su C è : 4,28 x 35,37 = 151,38V

per la costruzione grafica vedasi fig.5a

Consideriamo ora (fig.6) un circuito costituito da un resistore, una bobina (induttanza) e da un condensatore (capacità) alimentati in PARALLELO da un generatore di tensione alternata.

Risulta:

I=radq((I_C-I_L)²+I_R²); Poichè sappiamo che I_L=V/ωL, che I_C=VωC e che I_R=V/R, con semplici passaggi otteniamo:

I=V √((ω.C-1/ω.L)²+1/R²); da questa espressione si ricava l'Impedenza del circuito:

Z= 1/√(1/R² + (ωC - 1/ω.L)² );

φ  è l'angolo di fase (sfasamento fra tensione e corrente).

L'inverso dell'impedenza 1/Z= Y  risulta:

Y = √(1/R² + (ωC-1/ωL)²)

 che in notazione  simbolica diventa:

Y = 1/R+ J(ωC-1/ωL)

In questa espressione 1/R e la conduttanza in SIEMENS, ωC la suscettanza capacitiva in SIEMENS e 1/ωL la suscettanza induttiva  in SIEMENS.

Dato il circuito RLC parallelo di fig.7a , conoscendo  :

v = 220V, R = 50Ω, L = 150mH, C = 90μF, calcolare le correnti I_R, I_L, I_C,  l'angolo di fase φ e disegnare il diagramma vettoriale.

Y = √(1/R²+(ωC-1/ωL)²) = 0,0212 S

ωC = 0,028 S

1/ωL = 0,021 S

in notazione simbolica si ha:

Y =  1/R + J(ωC-1/ωL) = 0,02 + J1(0,028-0,021) = 0,02 + J 0,007;

0,02 è la conduttanza G ,  0,007 è la suscettanza B.

φ = arctg(ωC-1/ωL)/(1/R) = 19°17' 

per quanto riguarda le correnti possiamo scrivere:

I_R = v x 1/R = 4,4 A

I_C = v x ωC = 6,16 A

I_L = v x 1/ωL = 4,62 A

la corrente totale è pari a :

I = v x Y = 220 x 0,0212 = 4,66A

per la costruzione grafica vedasi fig.5a